¿Cuál es la forma correcta: «Para demostrar[le] a ellos que soy el mejor del mundo», «Para demostrar[les] a ellos que soy el mejor del mundo» o no es necesario demostrar nada para ser considerado el mejor del mundo?

«Hacer público» es ‘dar a conocer públicamente algo’. Se puede hacer público un matrimonio y hacer pública una separación. Se pueden hacer públicos unos resultados y también hacer públicas unas reacciones. Como vemos, la construcción «hacer público» concuerda siempre en género y número con aquello que se da a conocer. Por eso, si oímos que «la artista no quería hacer público su enfermedad» conviene saber que lo adecuado hubiera sido decir que «la artista no quería hacer pública su enfermedad».

Puedes ver la recomendación en http://www.fundeu.es/recomendaciones-H-hacer-publica-una-cosa-no-hacer-public…